פֶּרֶק מִסֵּפֶר – "הזמנה לפילוסופיה" מאת יובל שטייניץ

זנון: הצב ואכילס

לפארמנידס היה תלמיד מבריק ושמו זנון.

ראה זנון שרוב רובם של האנשים אינם מקבלים את תורתו של פארמנידס, ושפילוסופים רבים ומלומדים אחרים טוענים שבוודאי טעה במקום כלשהו – ויצא להגן על תורת רבו.

העניין שעליו הותקף כנראה פארמנידס יותר מכול, הייתה הכרזתו על אי אפשרותה של התנועה בעולמנו. לגבי עניינים אחרים, כמו למשל הטענה שכל העולם מלא "יש", הייתה בידי הבריות האפשרות להניח, שמה שנראה להם כמרחב ריק מכל חומר או חפץ, מלא לאמיתו של דבר עד אפס מקום באוויר או בחומרים אחרים שקופים ועדינים, שקיימים גם אם לא ניתן לראותם בעיניים או לממשם בידיים. גם לגבי אי האפשרות לבריאתו של ה"יש" – וה"יש" הוא לא פחות מאשר כל העולם – לא יעלה על דעתו של איש לטעון שהוא היה נוכח במקום הנכון בזמן הנכון, וראה במו עיניו את בריאת העולם. ואולם בעניין התנועה טענו רבים וטובים, שהם פשוט רואים – רואים בעיניהם – באופן יום-יומי את תופעת התנועה.

כדי להגן על תורת פארמנידס בפני טענה זו, ובפני אין ספור טענות בסגנון דומה, פיתח זנון טכניקת הגנה חדשה, ושמה: "הוכחה על דרך השלילה".

זנון בא אל מתנגדיו ואמר: אתם טוענים שיש תנועה? יהא כך. הבה נצא מההנחה שלכם, שאפשר לסמוך על חושינו, ובראש ובראשונה על חוש הראייה שלנו, ולקבוע כי יש תנועה בעולם – ונראה מהן המסקנות הנובעות מאותה הנחה.

פרדוקס אכילס והצב

אכילס היה המהיר והזריז מבין גיבוריה המיתולוגיים של מלחמת טרויה, והיוונים הדביקו לו את התואר "אכילס קל הרגליים".

הצב, לעומת זאת, שימש כבר ביוון העתיקה בתור סמל האיטיות.

נניח, שאכילס והצב עורכים ביניהם תחרות ריצה. אך מאחר שאכילס ידוע בתור הרץ המהיר ביוון, יהא זה מן ההגינות והצדק, אומר זנון, אם נבקש ממנו לתת לידידנו הצב מקדמה קטנה, נניח של עשרה מטרים, בשעה שאורך המסלול הוא מאה מטרים בדיוק.

"ומי לדעתכם ינצח בתחרות זו?" שואל זנון.

"מובן שאכילס יביס את הצב בקלי קלות", עונים מתנגדיו של פארמנידס המסתמכים על מראה החושים.

"אבל כדי לנצח בתחרות צריך אכילס תחילה לעבור את הצב?" שואל זנון.

"הלא זה מובן מאליו", עונים מתנגדיו.

"וכדי לעבור את הצב, צריך תחילה להגיע אליו?" שואל זנון.

"הלא גם זה מחויב המציאות", עונים מתנגדיו.

"אם כן, הקשיבו היטב", אמר זנון, "אני טוען שאכילס לעולם לא יוכל אפילו להגיע אל הצב, וממילא לא יוכל לעבור אותו".

"הכיצד?" הם תוהים.

"נניח שמהירותו של אכילס גדולה פי עשרה ממהירות הצב", אומר זנון, "הרי עד שיעבור את עשרת המטרים הראשונים ויגיע למקום בו היה הצב בתחילת המרוץ – בינתיים יעבור הצב מטר אחד?"

"נכון", הם אומרים.

וזנון שאל: "ועכשיו, כדי להגיע לצב, חייב אכילס לעבור גם את המטר הנוסף הזה?"

"הלא זה ברור", הם משיבים.

זנון: "ועד שיעבור אכילס את המטר הנוסף, ימשיך גם הצב לנוע ויעבור בינתיים עוד 10 סנטימטרים, שכן אמרנו שמהירותו היא רק עשירית מזו של אכילס?"

"נכון", הם אומרים.

"אם כן, שוב לא הדביק אכילס את הצב", אומר זנון.

"כן, אבל המרחק ביניהם כבר התקצר לעשרה סנטימטרים", אומרים הם.

"נכון", עונה זנון, "אבל כדי להדביק את הצב צריך אכילס לעבור את עשרת הסנטימטרים הללו, ובזמן שיעבור אותם יתקדם הצב עוד קצת קדימה, עוד מרחקון".

"בזה אנו חייבים להודות", הם אומרים.

"ובכן", מסכם זנון, "אכילס לעולם לא יוכל להדביק את הצב. שכן בכל פעם שיעבור אכילס את המרחק הקטן שנותר בינו לבין הצב, יתקדם גם הצב וכבר לא ימתין לאכילס באותו המקום. וכך הלאה והלאה, עד לאין-סוף – אכילס יוכל להתקרב אל הצב ולצמצם את המרחק ביניהם, אבל הוא לעולם לא יוכל לאפס את המרחק האחרון שנותר ולהגיע ממש עד אליו, מבלי שהצב יפתח בינתיים פער קטן נוסף. לכן נגזר עליו להישאר לעולמי עולמים מאחוריו".

***

אחד מהשומעים שהתרגז מדברי זנון, הבחין לפתע בצב שסעד את ליבו בפרחים שבצד הדרך. חיש מהר הרים את הצב בידיו, הניח אותו על השביל כמה מטרים לפניו, בתור מקדמה, וצעק לעברו של זנון: "ראה, זנון, מי הצודק בינינו. העץ שם (והוא הצביע על עץ שניצב אי שם בקצה השביל) יהווה את נקודת הסיום של התחרות, ואני והצב החמוד הזה פותחים במרוץ".

האיש החל לרוץ בכל כוחותיו ועד מהרה הגיע לצב, עבר אותו, והגיע לקצה המסלול כמנצח.

"נו", צחקו כל שאר הנוכחים, "הרואה אתה, זנון, שאפשר גם אפשר להדביק את הצב ואפילו להשיגו במרוץ?"

"הרואה אנוכי?" ענה זנון, "אכן, כולנו ראינו במו עינינו שהצב הפסיד בתחרות. אבל כאשר אנו חושבים על כך במו שכלנו, מתברר לנו שהראייה מטעה אותנו, שכן הדבר שראינו זה הרגע – הוא בלתי אפשרי מכל בחינה הגיונית. או שמא יש בכם מי שיוכל לפתור את הפרדוקס הזה".

איש מהנוכחים לא מצא דרך להוכיח באופן לוגי שזנון טועה.

לבסוף טען אחד מהם, שפרדוקס אכילס והצב מספיק אולי כדי להוכיח, שלא ייתכן שגוף מהיר יותר ידביק, ישיג, וגם יחלוף על פניהם של גופים איטיים ממנו – אבל עדיין לא נובע מכך, לפחות לא במישרין, שאין בעולם שום תנועה.

על כך הגיב זנון בפרדוקס מפורסם נוסף, הלא הוא פרדוקס ה"דיכוטומיה", מילה שמשמעותה הפרדה או חצייה לשניים של קבוצה כך שכל אחד מאבריה שייך רק לאחת מתת-הקבוצות בה.

פרדוקס הדיכוטומיה

נניח, אומר זנון, שאכילס – או כל דבר אחר (ואין זה משנה אם יהא זה אדם או חיה, אונייה או כוכב בשמיים) – אמור לעבור מרחק מסוים מנקודה A לנקודה B (ראו תרשים).

אבל – ברור שכדי לעבור מ-A ל-B, על אכילס לעבור, תחילה, את מחצית המרחק. כלומר לעבור קודם כול את נקודה C.

אבל – כדי לעבור נקודה מסוימת צריך קודם כול להגיע אליה. כלומר, ראשית דבר, עליו לעבור מנקודה A ל-C.

ושוב אבל – כדי לעבור מנקודה A ל-C עליו לעבור קודם כול את מחצית המרחק שביניהן, דהיינו, להגיע תחילה לנקודה D.

ועוד אבל – כדי להגיע כעת לנקודה D עליו ‏לעבור קודם כול את מחצית הדרך שבין A ל-D, כלומר להגיע, ראשית, לנקודה E.

וכך הלאה והלאה, אומר זנון. כדי לעבור מרחק כלשהו יהא עליו לעבור לפני כן את מחציתו. וכדי לעבור את מחציתו, עליו לעבור לפני כן את המחצית של המחצית, ולאחר מכן את מחצית מחציתה של המחצית הראשונה. בסופו של דבר, אומר זנון, אכילס יצטרך לעבור אין-סוף מחציות שכאלו רק כדי שיוכל להתחיל ולנוע.

לשון אחר – הוא לעולם לא יוכל אפילו להתחיל לנוע, מאחר שעל מנת לעבור את המרחק הראשוני הקטן ביותר יהיה עליו לעבור אין-סוף מחציות של מחציות שבינו לבין ההתחלה, שכן תמיד נוכל לחלק כל מרחק ממשי פעם נוספת לשני חלקים.

אפשר להציג זאת קצת אחרת, אומר זנון: תנועה פירושה לעבור מרחק מסוים בזמן מסוים. אבל כיצד מתחילה התנועה?

מהו המרחק המינימלי הממשי ההתחלתי שאיתו יפתח גיבורנו אכילס את תנועתו?

כי אחת משתיים, אומר זנון: או שהמרחק הראשוני גדול מאפס, או שהוא שווה לאפס.

אבל אם המרחק הראשוני שיעשה אכילס הוא מרחק ממשי הגדול מאפס – אזי כבר ניתן לחלק אותו לשניים, ולכן הוא אינו מינימלי וגם לא ראשוני. ואם הוא שווה לאפס – אזי הוא מינימלי וראשוני, אבל הוא כבר אינו יכול להיחשב יותר למרחק ממשי.

לכן אכילס היקר שלנו לא יוכל בכלל להתחיל ולהיכנס למצב של תנועה, אומר זנון, כי פשוט לא יהיה לו עם מה להתחיל. שכן אין לך בנמצא שום מרחק שיוכל להיות גם ממשי, וגם ראשוני, בעת ובעונה אחת.

הערה: "דיכוטומיה" פירושה חיתוך או חצייה לשניים. הפרדוקס מצביע על סידרה הנדסית של מחציות, שתמיד אפשר להוסיף לה איבר נוסף. כדי לעבור מ-A ל-B צריך לעבור את המחצית, ואת החצי של המחצית, שהינו למעשה הרבע, וכך הלאה והלאה, ומתקבל טור כזה:

זהו טור שיש לו איבר סופי (האיבר – 1), אך אין לו שום איבר ראשוני. כי או שהמרחק הראשוני של התנועה גדול מאפס – או שהוא שווה לאפס. אבל אם הוא גדול מאפס, אזי ניתן לחלק אותו לשניים, ולכן הוא כבר אינו מרחק ראשוני. ואם הוא שווה לאפס, אז לא ניתן לחצות אותו לשניים, ואז הוא אינו מרחק ממשי. לכן, מכיוון שהטור שלמעלה מתאר את שלבי התנועה הנדרשים למעבר של מרחק מסוים (הנקרא – 1) – אז מאחר שאין ולא יכולה להיות לטור התחלה, אי אפשר אפילו להתחיל בשלבי התנועה הנדרשים.

פרדוקס החץ

"לאחר שהתברר לגיבורנו", התרברב יום אחד זנון בפני קהל שומעיו, "שהפרדוקסים שלי שוללים ממנו את כל היתרונות הבולטים שלו בשדה הקרב: ריצתו המהירה והסתערות הבזק המפורסמת שלו עם חרב וחנית אל תוך שורות האויב – התייאש אכילס מהריצה החליט כי מעתה והלאה עליו להקדיש יותר זמן לאימוני חץ וקשת".

הפעם הגיב הקהל בצחוק רועם.

"ואני מניח שלא תופתעו לשמוע", המשיך זנון, "שאז המצאתי לו עוד פרדוקס. פרדוקס ששלל ממנו גם את השימוש בחיצים. כך חזרתי והוכחתי לגיבור המיתולוגי החזק והמהיר ביותר, שפילוסוף חלשלוש כמוני יכול לנצח אותו בכוח השכל".

"וזה דבר הפרדוקס", אמר זנון. "נניח שחץ עף מנקודה אחת לאחרת. האם לדעתכם הוא מפסיק להתקיים במהלך מעופו – או שבכל רגע ורגע של המעוף הוא מתקיים במקום מסוים?"

"ברור שגם מי שנע או עף ממשיך להתקיים כל הזמן", השיבו לו. "וכי כיצד יוכל לנוע בזמן שאיננו נמצא?"

"והאם מקובל עליכם שדבר מה שמתקיים ונמצא – מתקיים ונמצא תמיד במקום מסוים, ולא במקומות אחרים?" שאל זנון.

"הלא זה מן המוסכמות והמקובלות", השיבו שומעיו.

"ודבר שנמצא ברגע מסוים במקום מסוים, כלום לא נכון לתאר אותו כאילו הוא נח באותו הרגע באותו המקום?" שאל זנון.

"הלא גם זה ברור מאליו", ענו לו מהקהל.

"אם כך", שאל זנון, "מתי יוכל החץ של אכילס לנוע אל מטרתו? שהרי בכל רגע ורגע של תנועתו הוא מתקיים במקום מסוים, כלומר, הוא נמצא במנוחה באותו המקום. וכך קורה, כפי שסיכמנו בינינו, בכל רגע ורגע של מעופו. וכלום יכולה התנועה להיות מורכבת מאוסף גדול של מנוחות? ומי שנח כל הזמן – מתי יהיה לו רגע לנוע?"

***

מתברר, אפוא, מסכם זנון, שגם אם ננסה להניח מראש את קיומה של תנועה בעולמנו, נגלה, לבסוף, שהתנועה היא בלתי אפשרית מבחינה הגיונית. זאת מכיוון שגילינו, ששום אדם ושום חפץ אינם יכולים להימצא בתנועה, או אפילו להתחיל ולנוע. מכאן יוצא לנו שפארמנידס צודק. לא רק שההוכחות שלו מראות לנו בבירור שאין תנועה בעולם, אלא שכל מי שינסה לטעון אחרת ייתקל עד מהרה בפרדוקסים חסרי פתרון.

הזמנה לפילוסופיה / יובל שטייניץ
כנרת זמורה דביר, 2023 (המהדורה ה-70)
232 עמודים

ד"ר יובל שטייניץ הוא מרצה לפילוסופיה, ושימש כחבר כנסת ושר בממשלות ישראל. פרסם חמישה ספרים. ספרו הראשון "הזמנה לפילוסופיה", אותו כתב במהלך לימודיו לתואר ראשון בפילוסופיה, נחשב לספר הפילוסופיה הנמכר ביותר במדינת ישראל